La suocera che non conosceva confini – e come tutto è cambiato
Agnese tornava a casa tardi, il lavoro l’aveva trattenuta, la testa le ronzava e il petto le doleva per la stanchezza. Non sapeva che l’attendeva un’altra ondata di offese e tensioni. Varcata la soglia, riconobbe subito la voce familiare ma ormai insopportabile proveniente dalla cucina:
«Oh, finalmente!» esclamò sarcastica Rosalba, la suocera di Agnese. «È buio da un po’ e tu arrivi solo ora. Questo è il tuo lavoro? Dimenticare marito e casa?»
«C’era un ritardo, un progetto urgente» spiegò Agnese con calma, togliendosi il cappotto di routine.
«Un progetto… E intanto mio figlio ha fame, tra l’altro» borbottò la suocera. «I piatti sono una montagna nel lavandino, la casa è polverosa, tu sembri uno straccio—e questa si chiama moglie?»
Agnese annuì stanca e andò a cambiarsi. Ma, tornando in cucina, si fermò sulla soglia. Dalla stanza accanto provenivano le voci di Rosalba e Marco. Quello che udì la lasciò senza fiato.
«Sai, Marco, la figlia della mia amica, Viola, è tutta un’altra cosa. Intelligente, di buona famiglia. E, tra l’altro, ha messo gli occhi su di te» sussurrò melliflua la suocera. «E non le importa che tu sia già sposato. Non è mica per sempre…»
Agnese sentì il respiro mancarle. Il sangue le salì al viso. Come poteva dirle una cosa simile? Le venne voglia di urlare, di scagliare qualcosa, ma entrò in bagno in silenzio per non esplodere.
Pochi minuti dopo uscì, appoggiandosi al muro. Marco accorse:
«Agnese, stai bene?»
«Niente. Solo un po’ di stress.»
«Ecco, adesso si ammala pure!» intervenne Rosalba. «Certo, è solo per attirare l’attenzione.»
Agnese tacque, ma il mattino dopo stava peggio. Ambulanza, ospedale, esami. Un’ora dopo comunicò a Marco:
«Non è nulla di grave. Solo che… sono incinta. Ci servirà tranquillità e un po’ più di tenerezza.»
Marco la strinse forte, le lacrime gli rigavano il viso. Ma la gioia durò poco.
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\newtheorem{lemma}{Лемма}
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\begin{document}
\noindent \textbf{Теорема(Дальтона).} {\it Пусть функция $f(x)$ интегрируема на $[a, b]$. Тогда функция
\[F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt\]
непрерывна на $[a, b]$. Более того, если функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0 \in [a, b]$, то функция $F(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и справедливо равенство $F'(x_0) = f(x_0)$.}
\begin{proof}
Сначала установим непрерывность $F(x)$ на всем отрезке $[a, b]$. Зафиксируем произвольную точку $x \in [a, b]$. Покажем, что функция $F(x)$ непрерывна в этой точке. Приращение функции $F(x)$ в точке $x$ имеет вид
\[
F(x + h) – F(x) = \int\limits_x^{x + h} f(t)\,dt.
\]
Но, так как $\left|f(t)\right| \leqslant M$ на $[a, b]$ (функция, интегрируемая по Риману, ограничена), получаем
\[
\left|F(x + h) – F(x)\right| \leqslant \left|\int\limits_x^{x + h} \left|f(t)\right|\,dt\right| \leqslant M\left|h\right| \to 0\ \text{при}\ h \to 0.
\]
Таким образом, $F(x)$ непрерывна на $[a, b]$.\\
Теперь предположим, что $f(x)$ непрерывна в точке $x_0 \in [a, b]$. Установим дифференцируемость $F(x)$ в этой точке и равенство $F'(x_0) = f(x_0)$. Рассмотрим отношение
\[
\frac{F(x_0 + h) – F(x_0)}{h} = \frac{1}{h}\int\limits_{x_0}^{x_0 + h} f(t)\,dt.
\]
Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, так что для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$, что при $\left|t – x_0\right| < \delta$ справедливо неравенство $\left|f(t) - f(x_0)\right| < \varepsilon$. Следовательно, при $\left|h\right| < \delta$ имеем
\[
\left|\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)\right| = \left|\frac{1}{h}\int\limits_{x_0}^{x_0 + h} \left(f(t) - f(x_0)\right)\,dt\right| \leqslant \frac{1}{\left|h\right|} \cdot \varepsilon\left|h\right| = \varepsilon.
\]
Таким образом, $F(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и $F'(x_0) = f(x_0)$.
\end{proof}
\end{document}